درس اول ریاضی نهم: مجموعه ها

مجموعه ریاضی، مجموعه ها در ریاضی ، با مجموعه در ادبیات محاوره ای چه تفاوتی دارد؟

ویژگی های یک مجموعه ریاضی چیست؟

مجموعه ها در ریاضی را به اختصار مجموعه ریاضی می نامیم. مجموعه ها در ریاضی با واژه های روزمره ای نظیر دسته و مجموعه که در ادبیات محاوره ای با آن سر و کار داریم؛ متفاوت است.
مهمترین تفاوت های موجود بین مجموعه در ریاضی با واژه مجموعه در ادبیات عامه مردم موارد زیر است:

یکتا و مشخص بودن عضوها
عدم اهمیت مکان اعضا
بی اثر بودن تکرار در اعضا

مثلا چهار شاعر ایرانی نمی تواند یک مجموعه را مشخص کند. زیرا این اعضا منحصر به فرد نیستند.

مثلا فردی می تواند فردوسی، حافظ، سعدی و نظامی را در نظر بگیرد. و دیگری مولانا، بابا طاهر ، خیام و سهراب سپهری را به عنوان چهار شاعر ایرانی فرض کند.

یک مجموعه ریاضی چگونه نمایش داده می شود؟

برای مشخص کردن یک مجموعه ریاضی راه های زیادی داریم.
توصیف مجموعه یکی از راه های مشخص کردن مجموعه ها در ریاضی است. (مثال: اعداد طبیعی کوچکتر از پنج)
قراردادن اعضای مجموعه بین دو آکولاد

استفاده از نمودار ون

بیان ریاضی مجموعه ها از جمله روشهای نمایش مجموعه ها می باشد.

نمودار ون چیست؟

نمودار ون، نمایش مجموعه به صورت اشکال هندسی که عموما دایره هایی است که اعضا داخل آن قرار دارند.
در هر حقیقت نمودار ون ، هر مجموعه را با یک شکل هندسی نشان می دهد. اعضای این مجموعه، در داخل آن شکل قرار گرفته اند.
خوب است بدانید که مفهوم مجموعه ها در ریاضی جزو مفاهیم اولیه است . یعنی تعریفی برای آن وجود ندارد . مجموعه ها فقط از روی شاخصه های آن مورد شناسایی قرار می گیرند.
هر چند گاهی مجموعه را یک دسته یا گروه تعریف می کنیم . اما دسته یا گروه نیز خود نیازمند یک تعریف است.

مجموعه مرجع چیست؟ مجموعه تهی چه چیزی را نشان می دهد؟

مجموعه مرجع که معمولا آن را با حرف U یا M نشان می دهند؛ بیانگر مجموعه ای است که به عنوان مجموعه مادر شناخته می شود؛ و شامل همه اعضای مورد نظر مساله است.
مثال) وقتی صحبت از مجموعه اعداد صحیح و کسری است . مجموعه اعداد گویا به عنوان مجموعه مرجع می تواند تعریف شود.
مجموعه تهی : مجموعه ای است که فاقد عضو است. آن را با نماد دو آکولاد باز و بسته که چیزی داخل آن نوشته نشده نشان می دهند. از نماد فی نیز برای نمایش مجوعه تهی استفاه می شود. فی شبیه حرف O است که داخل آن خطی مورب کشیده شده است.
به عنوان مثال مجموعه اعداد اول بین ۳ و ۴ به دلیل نداشتن هیچ عضوی یک مجموعه تهی را نشان می دهد. با یکی از دو نماد مجموعه تهی قابل نمایش است.
تذکر) مجموعه شامل عدد صفر با مجموعه تهی متفاوت است. زیرا دارای یک عضو می باشد.(صفر به عنوان تنها عضو آن است)

عضویت ، زیرمجموعه بودن و عملیات اشتراک ، اجتماع و تفاضل در مجموعه ها

روابط روی مجموعه ها نظیر زیرمجموعه ، اجتماع، اشتراک و تفاضل بین دو مجموعه قابل تعریف است.

عضوهای یک مجموعه چگونه مشخص می شوند؟

زمانی که از عضویت صحبت می شود، باید عین آنچه در تعریف مجموعه بیان شده را ارائه کنیم.

هرگاه از زیرمجموعه سخن گفته می شود، باید اعضای مورد نظر را در قالب یک مجموعه نشان دهیم. (حتما اعضا را داخل یک آکولاد قرار دهیم.)

اجتماع و اشتراک مجموعه ها چگونه به دست می آید؟

نکته) خروجی اجتماع، اشتراک و تفاضل نیز یک مجموعه خواهد بود.
اجتماع دو مجموعه: بیانگر مجموعه ای است که اعضای آن شامل تمام اعضای دو مجموعه است.

اشتراک دو مجموعه: مجموعه ای است که بخش مشترک اعضای دو مجموعه را نشان می دهد.
تفاضل دو مجموعه:  شامل عضوهایی از مجموعه اول است که در مجموعه دوم حضور ندارند.
برابری دو مجموعه دو شرط دارد. اگر هر دو برآورده شوند دو مجموعه با هم برابر خواهند بود. اولین شرط، یکسان بودن تعداد اعضای دو مجموعه است.  دومین شرط نظیر به نظیر یکسان بودن اعضای دو مجموعه با یکدیگر است.
ارضای شرط دوم به منزله تحقق شرط اول هم می باشد.

تست از مجموعه ها در ریاضی و مفهوم زیرمجموعه و اجتماع و اشتراک مجموعه ها

تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 به توان n پس:

پاسخ تست مجموعه ها در ریاضی – مفهوم زیرمجموعه و اجتماع و اشتراک مجموعه ها

تستی در مورد شناسایی اعضای مجموعه ها در ریاضی و نحوه نمایش جبری مجموعه های ریاضی:

تستی از تشخیص اعضای مجموعه های ریاضی

پاسخ تست بالا که از آزمونهای آزمایشی قلمچی انتخاب شده است:

پاسخ تست نمایش اعضای مجموعه ها در ریاضی

در ویدئوی آموزشی زیر، تستی از کتاب ریاضی تکمیلی پایه نهم (تیزهوشان)بررسی می شود. این ویدئو به مرور مفاهیم مطرح شده می پردازد.

متمم یک مجموعه چگونه به دست می‌آید؟

برای یافتن متمم یک مجموعه کافی است از مجموعه مرجع، اعضای مجموعه را حذف کنیم.